3. Longitudinalwellen

Longitudinalwellen sind anders strukturiert als Transversalwellen. Bei ihnen stehen Schwingungs- und Ausbreitungsrichtung senkrecht zueinander. Longutidinalwellen sind Druckwellen und kommen nur in einem Medium vor, dies bedeutet es sind kurzeitige Verdichtungen des Mediums in Ausbreitungsrichtung (siehe Abbildung 3.7).

Beispielsweise Schallwellen sind Longitudinalwellen, die Frequenz der Schallwelle bestimmt die Tonhöhe. Seismische Wellen können longitudinal sein, man bezeichnet sie dann als P-Wellen, sie können auch transversal sein, man bezeichnet sie dann als S-Wellen. Wasserwellen sind oft eine Kombination aus longitudinalen und transversalen Wellen.

Fig. 3.7 Darstellung einer Longitudinalwelle (Druckwelle).

3.1. Wellengleichung für Longitudinalwellen

Um die Wellengleichung für Longitudinalwellen herzuleiten wird ein etwas anderes Modell als bei Transversalwellen benötigt. Dieses Modell ist in Abbildung 3.8 dargestellt.

Kolbenbewegung drückt Luftmoleküle zusammen und erzeugt lokale Kompression (Druckerhöhung), welche dann als longitudinale Welle weitertransportiert wird. Die einzelnen Luftmoleküle schwingen dabei um ihre Ruhelage (in x-Richtung). Dadurch erfolgt nur Energie- und kein Materietransport.

Wenn der Kolben ruckartig mit der konstanten Geschwindigkeit \(v_K\) nach rechts geschoben wird, dann hat sich nach einem kurzen Moment \(\Delta t\) der Kolben um die Strecke \(v_K \Delta t\) bewegt, und die gesamte Luft innerhalb der Entfernung \(v_S \Delta t\) von der Anfangslage des Kolbens bewegt sich mit der Geschwindigkeit \(v_S\) nach rechts (siehe Abbildung 3.8).

Fig. 3.8 Molekülbewegung bei einer Longitudinalwelle (Druckwelle).

Zwischen Kraftstoß und Impuls gilt der Zusammenhang

(3.2)\[\left< F\right> = \frac{\Delta p}{\Delta t} \Leftrightarrow \left< F\right> \Delta t = \Delta p = m v_K = \rho \cdot V v_K = \rho \, A v_S \Delta t \, v_K\]

wobei \(A v_S \Delta t\) das Volumen der unkomprimierten Luft ist. Darüber hinaus gilt \(\Delta p = \frac{F}{A} \Leftrightarrow F = A \, \Delta p\)

Das Kompressionsmodul (von Luft) ist definiert als

\[K = -\frac{\Delta p}{\Delta V / V}\]

Damit lässt sich schreiben

(3.3)\[\Delta p = - K\frac{\Delta V}{V} = -K \frac{- A v_K \Delta t}{A v_S \Delta t} = K\frac{v_K}{v_S} \Rightarrow F = A \Delta p = A K\frac{v_K}{v_S}\]

Gleichsetzen von (3.2) und (3.3) ergibt

\[ A K\frac{v_K}{v_S} = \rho \, A v_S \Delta t \, v_K \Leftrightarrow v_S = \sqrt{\frac{K}{\rho}}\]

Die Wellengleichung für Schallwellen lässt sich ebenfalls aus dem zweiten Newton’schen Axiom herleiten. Für eine eindimensionale Schallwelle gilt (analog zur Transversalwelle)

\[\frac{\partial^2s}{\partial x^2} = \frac{1}{v_S^2}\frac{\partial^2s}{\partial t^2}\]

Hierbei ist jedoch \(s(x,t)\) die Auslenkung des Mediums in \(x\)-Richtung (nicht in \(y\)-Richtung wie bei der Transversalwelle !!) und \(v_S = \sqrt{\frac{K}{\rho}}\) die Schallgeschwindigkeit im Medium, in dem sich die Welle ausbreitet.

3.2. Energietransport von Longitudinalwellen

Wie auch bei Transversalwellen kann auch bei Longitudinalwellen die mittlere transportierte Energie berechnet werden. Hier können die Erkenntnisse aus Kapitel Energietransport von Transversalwellen verwendet werden, um die entsprechenden Größen für Longitudinalwellen zu bestimmen, müssen lediglich einige Ersetzungen gemacht werden.

Die mittlere transportierte Energie ist \(\left< E\right> = \frac{1}{2} \left( \mu \omega^2 \hat{y}^2\right) \Delta x \)

Für die Betrachtung von Schallwellen werden folgende Ersetzungen gemacht:

\(\mu \Delta x \longrightarrow \rho_0 \Delta V \) und \(\hat{y} \longrightarrow s_{max}\)

Damit gilt für Schallwellen \(\left< E\right> = \frac{1}{2} \rho_0 \omega^2 s_{max}^2 \Delta V \)

Die mittlere Energiedichte ist dann

\[\frac{\left< E\right>}{\Delta V} = \frac{1}{2} \rho_0 \omega^2 s_{max}^2 \]