3. Linsen#
3.1. Bildentstehung an gekrümmter Oberfläche#
Wie beim Spiegel kann auch an gekrümmten durchsichtigen Oberflächen ein Bild entstehen. Hier entsteht das Bild nicht durch Reflexion, sondern durch Brechung.
Fig. 3.10 Bildentstehung an gekrümmten durchsichtigen Oberflächen.#
Nach dem Snellius`schen Brechungsgesetz gilt
Bei kleinen Winkeln gilt die Näherung: \(sin \left( \alpha \right) \approx tan \left( \alpha \right) \approx \alpha\). Für den \(tan\) gilt
Daraus ergibt sich
Bei der Brechung entstehen reelle Bilder, und zwar (vom Gegenstand aus gesehen) hinter der brechenden Fläche (siehe Abbildung 3.10). Virtuelle Bilder dagegen entstehen auf der Einfallsseite, vor der brechenden Fläche.
Die Vorzeichenkonvention für die Brechung ähnelt derjenigen für die Reflexion. Es gilt:
Die Gegenstandsweite g ist positiv für Gegenstände auf der Einfallsseite der brechenden Fläche.
Die Bildweite b ist positiv für Bilder auf der Transmissionsseite der brechenden Fläche.
Der Krümmungsradius r ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der Transmissionsseite der brechenden Fläche liegt.
Die Herleitung der entsprechenden Abbildungsgleichung erfolgt über verschiedene Winkelbetrachtungen.
Fig. 3.11 Abbildungsgleichung an gekrümmten durchsichtigen Oberflächen.#
Dreieck BDE: \(180^\circ = \beta + \delta^\prime + \gamma^\prime\) außerdem: \(180^\circ = \gamma^{\prime\prime} + \delta^\prime\) \(\Rightarrow \gamma^{\prime\prime} = \beta + \gamma^\prime \Leftrightarrow \beta = \gamma^{\prime\prime} - \gamma^\prime\)
Dreieck ABD: \(180^\circ = \gamma + \delta + \gamma^{\prime\prime}\) außerdem: \(180^\circ = \alpha + \delta\) \(\Rightarrow \alpha = \gamma^{\prime\prime} + \gamma\)
Brechungsgesetz:
Außerdem gilt für kleine Winkel (\(\overline{CD} \gg \overline{C\leftrightarrow\text{Oberflaeche}}\))
\(\gamma^{\prime\prime} \approx \frac{h}{r}\)
\(\gamma^{\prime} \approx \frac{h}{b}\)
\(\gamma \approx \frac{h}{g}\)
Daraus ergibt sich
3.2. Dünne Linsen#
Linsen sind optische Instrumente, die aus zwei durchsichtigen Oberflächen bestehen. Bei Linsen findet also Brechung an zwei Oberflächen statt. Je nach Form der beiden Oberflächen gibt es unterschiedliche Effekte bei der Bildentstehung. Man unterscheidet konvexe Linsen (Sammellinsen) und konkave Linsen (Zerstreuungslinsen), Konvexe Linsen fokussieren parallel einfallendes Licht in einem Brennpunkt hinter der Linse, konkave Linsen defokussieren parallel einfallendes Licht (siehe Abbildung 3.12)
Fig. 3.12 Strahlengang bei Konvex- und Konkavlinsen#
Im folgenden wird eine dünne Konvexlinse betrachtet, um die Linsengleichung herzuleiten. Dünne Linsen sind Linsen, wie sie in Abbildung 3.12 dargestellt werden.
An beiden Oberflächen einer Linse tritt Brechung auf, wobei das von der ersten Oberfläche entworfene Bild als virtueller Gegenstand für die Abbildung durch die zweite Oberfläche dient.
Fig. 3.13 Strahlengang bei einer dünnen Konvexlinse#
Der Gegenstand hat von der ersten Oberfläche den Abstand \(g\). Für die Brechung an der ersten Oberfläche gilt nach (3.4) Bildweite durch die erste Oberfläche:
Dabei ist \(n_L\) der Brechungsindex der Luft und \(n_G\) der Brechungsindex der Linse, hier Glas. \(\tilde{b}\) ist die Bildweite des nach Brechung an der ersten Oberfläche des entstandenen Bildes und \(r_1\) der Radius der ersten Linsenkrümmung.
Das an der ersten Oberfläche gebrochene Licht wird an der zweiten Oberfläche erneut gebrochen. Die an der zweiten Oberfläche gebrochenen Strahlen verlaufen innerhalb der Linse so, als gingen sie vom Bildpunkt \(P^\prime\) aus. Dies bedeutet \(\tilde{b} = - \tilde{g}\). Hier führt sie als erstes zu einem virtuellen Bild bei \(P^{\prime\prime}\)
Addieren von Gleichung (3.5) und Gleichung (3.6) ergibt
Der Term auf der rechten Seite ist der Kehrwert der Brennweite der Linse
Die Brennweite ist definiert also die Bildweite bei einem unendlich weit entfernten Gegenstand
(\(\Rightarrow b = f \text{ und } g\rightarrow \infty\)).
Damit ergibt sich die Linsengleichung
Dabei ist \(g\) die Gegenstandsweite vor der ersten Brechung und \(b\) die Bildweite nach der zweiten Brechung. Die dünne Linse kann idealisiert also so betrachtet werden, als würde nur eine Brechung in der Mitte der Linse stattfinden.
Der Kehrwert der Brennweite wird auch als Brechkraft \(D\) einer Linse bezeichnet.
mit \(\frac{1}{f} = \left( \frac{n_G}{n_L} - 1 \right) \left( \frac{1}{r_1} - \frac{1}{r_2}\right)\)
Dieser Zusammenhang gilt auch für Konkavlinsen oder kombinierte Linsen.
Es gilt folgende Vorzeichenkonvention für die Radien:
\(r\) ist positiv, wenn der Krümmungsmittelpunkt auf der gleichen Seite der Oberfläche liegt wie das gebrochene Licht
Die beiden Radien haben dann gleiche Vorzeichen, wenn die Mittelpunkte auf derselben Seite der Linse liegen (konvex-konkave Linse)
Die beiden Radien haben ungleiche Vorzeichen, wenn die Linse bikonvex/bikonkav ist
3.3. Bildentstehung an Linsen#
Aus den im vorigen Kapitel abgeleiteten Zusammenhängen können folgende Regeln für die geometrische Bildkonstruktion an einer dünnen Linse formuliert werden.
Der achsenparallele Strahl wird so gebrochen, dass er durch den zweiten Brennpunkt der Linse verläuft.
Der Mittelpunktsstrahl verläuft durch den Mittelpunkt der Linse und wird nicht aus seiner Richtung abgelenkt.
Der Brennpunktsstrahl verläuft durch den ersten Brennpunkt und tritt achsenparallel aus. Bei einer Konkavlinse wird der Brennpunktsstrahl auf den ersten Brennpunkt, hinter der Linse, gerichtet.
Fig. 3.14 Strahlengang bei einer dünnen Konvexlinse#
Fig. 3.15 Strahlengang bei einer dünnen Konkavlinse#