6.1. Gerader zentraler elastischer Stoß#
Fig. 6.4 Gerader zentraler elastischer Stoß.#
Der gerade zentrale Stoss ist der einfachste mögliche Stossprozess. Es findet kein Impulsübertrag in \(\perp\) Richtung statt, so dass es sich hier um ein eindimensionales Problem handelt.
Zusammenhänge zwischen \(\vec{v}_1 , \, \vec{v}_2\) und \(\vec{v}^\prime_1 , \, \vec{v}^\prime_2\) ergeben sich durch die Betrachtung von Energie- und Impulserhaltung.
Energieerhaltung
\(E_{vor} = E_{nach}\)
\(\frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} m_1 \left(v^\prime_1 \right)^2 + \frac{1}{2} m_2 \left(v^\prime_2 \right)^2 \Leftrightarrow m_1 v_1^2 + m_2 v_2^2 = m_1 \left(v^\prime_1 \right)^2 + m_2 \left(v^\prime_2 \right)^2 \)
\(\Leftrightarrow m_1 v_1^2 - m_1\left(v^\prime_1 \right)^2 = m_2 \left(v^\prime_2 \right)^2 - m_2 v_2^2 \Leftrightarrow m_1 \left( v_1^2 - \left(v^\prime_1 \right)^2 \right) = m_2 \left( \left(v^\prime_2 \right)^2 - v_2^2\right)\)
\(\Leftrightarrow m_1 \left(v_1 - v_1^\prime\right)\left(v_1 + v_1^\prime\right) = m_2 \left(\left(v_2^\prime\right) - v_2\right)\left(\left(v_2^\prime\right) + v_2\right)\) (1)
Impulserhaltung
\(p_{vor} = p_{nach}\)
\(m_1 v_1 + m_2v_2 = m_1 v_1^\prime + m_2 v_2^\prime \Leftrightarrow m_1 \left( v_1 - v_1^\prime \right) = \Leftrightarrow m_2 \left(v_2^\prime - v_2\right)\) (2)
Die beiden hierausgewonnen Gleichungen (1) und (2) werden auf jeder Seite dividiert
(1) / (2) \(\Rightarrow v_1 + v_1^\prime = v_2^\prime + v_2 \Leftrightarrow v_1 - v_2 = v_2^\prime - v_1^\prime \Leftrightarrow v_2^\prime - v_1 = v_2 + v_1^\prime\) (3)
Wird Gleichung (3) in Gleichung (2) eingesetzt, ergibt sich
\(m_1 \left( v_1 - v_1^\prime \right) = m_2 \left( v_1 - v_2 + v_1^\prime - v_2 \right) \Leftrightarrow m_1 v_1 - m_1 v_1^\prime = m_2 v_1 - 2 m_2 v_2 + m_2 v_1^\prime\)
\(\Leftrightarrow m_1 v_1 -m_2 v_1 + 2 m_2 v_2 = m_2 v_1^\prime + m_1 v_1^\prime = v_1^\prime \left( m_1 + m_2\right)\)
\(\Leftrightarrow v_1^\prime = \frac{m_1 v_1 -m_2 v_1 + 2 m_2 v_2}{m_1 + m_2} \)
\( \Leftrightarrow v_1^\prime = \frac{m_1 v_1 -m_2 \left(v_1 - 2 v_2 \right)}{m_1 + m_2} \)
Ebenfalls ergibt sich aus (3) in (2) mit \(v_1^\prime = v_2^\prime -v_1 + v_2\)
\(m_1 \left( v_1 - \left( v_2^\prime -v_1 + v_2 \right) \right) = m_2 \left( v_2^\prime -v_2\right) \Leftrightarrow m_1 v_1 - m_1 v_2^\prime + m_1 v_1 -m_1 v_2 = m_2 v_2^\prime - m_2 v_2\)
\(\Leftrightarrow 2 m_1 v_1 - m_1 v_2 + m_2 v_2 = v_2^\prime \left( (m_1 + m)2 \right) \Leftrightarrow m_1 \left( 2 v_1 - v_2 \right) + m_2 v_2 = v_2^\prime \left((m_1 + m)2 \right)\)
\(\Leftrightarrow v_2^\prime = \frac{m_1 \left(2 v_1 - v_2 \right) + (m_2 v_2)}{m_1 + m_2}\)