3. Satz von Steiner

Oft ist das Trägheitsmoment eines Körpers um eine Drehachse durch den Schwerpunkt bekannt. Das Trägheitsmoment um eine parallel dazu verschobene Drehachse kann mittels des bekannten Trägheitsmomentes durch den Schwerpunkt und dem Satz von Steiner berechnet werden

Sei \(\Theta_1 = \Theta_{1, Schwerpunkt}\) das bekannte Trägheitsmoment durch den Schwerpunkt und der Abstand zwischen den Drehachsen \(= \Delta\) Dann gilt für das Trägheitsmoment um die parallel dazu verschobene Drehachse 2

\(\Theta_2 = \Theta_1 + m\cdot \Delta^2\)

Das Trägheitsmoment eines Körpers ist dann am geringsten, wenn die Drehachse durch den Schwerpunkt geht. Das folgt daraus, dass der Steinersche Anteil stets positiv ist, wenn man eine Verschiebung vom Schwerpunkt weg durchführt.

3.1. Beispiel: langer Stab

Fig. 3.15 Satz von Steiner

Es gilt \(\Theta_1 = \frac{m}{12} l^2\)

mit \(\Delta=\) Abstand zwischen den Drehachsen ist \(\Theta_2 = \frac{m}{12} l^2 + m \Delta^2 = m \left(\frac{l^2}{12} + \Delta^2 \right)\)

mit \(\Delta = \frac{l}{2}\) ist

\(\Theta_2 = m \left(\frac{l^2}{12} + \frac{l^2}{4} \right) = \frac{1}{3} m l^2 \)