6.2. Gerader zentraler unelastischer Stoß

Fig. 6.5 Gerader zentraler inelastischer Stoß.

Bei geraden zentralen unelastischen Stoß handelt es sich ebenfalls um ein eindimensionales Problem. Hier bleiben die beiden Massen jedoch nach dem Stoss aneinander und verformen sich zu einer neuen Masse \(M = m_1 + m_2\), die sich dann zusammen weiterbewegen. Ein Teil der Energie wird daher für die Verformung benötigt, was sich dann auch in der Energiebilanz widerspiegelt.

Energieerhaltung

\(E_{vor} = E_{nach} + \Delta E \Rightarrow \frac{m_1}{2}v_1^2 + \frac{m_2}{2}v_2^2 = \frac{m_1}{2}\left(v_1^\prime \right)^2 + \frac{m_2}{2}\left(v_2^\prime \right)^2 + \Delta E\)

\(\Rightarrow v_1^\prime = v_2^\prime = v^\prime \text{ und } M = m_1 + m_2\)

Dann ist

\(\Rightarrow \frac{1}{2} m_1 v_1^2 + \frac{1}{2} m_2 v_2^2 = \frac{1}{2} M \left(v^\prime \right)^2 + \Delta E\)

Impulserhaltung

\(p_{vor} = p_{nach}\)

\(m_1 v_1 + m_2 v_2 = \left( m_1 + m_2 \right) v^\prime = M v^\prime \Leftrightarrow v^\prime = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{M}\)

Damit lässt sich der Teil der Energie berechnen, der als Verformungsenergie zum zusammenkleben der Massen aufgewandt wird.

\(\Delta E = \frac{m_1}{2} v_1^2 + \frac{m_2}{2} v_2^2 -\frac{1}{2} M \left( \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{M}\right)^2 = \frac{m_1}{2} v_1^2 + \frac{m_2}{2} v_2^2 - \frac{\left(m_1 v_1 + m_2 v_2\right)^2}{2M} = \frac{m_1m_2}{2M} \left(v_1 - v_2 \right)^2\)