6. Starrer Körper auf schiefer Ebene

Fig. 6.8 Zylinder auf schiefer Ebene

Trägheitsmoment um Schwerpunktachse ist \(\Theta_S\)

Ohne Reibung gilt \(E_{kin} + E_{pot} = \text{konst.} \Rightarrow \Delta E_{kin} = \Delta E_{pot}\) \(\Delta E_{pot} = m g \Delta h = mgs\cdot sin(\beta)\)

\(\Delta E_{kin} = E_{Trans} + E_{Rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \Theta_{S} \frac{v^2}{r^2}\)

\(mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2}\Theta_S \frac{v^2}{r^2} \Leftrightarrow gs \cdot sin (\beta) =v^2 \frac{m}{2}\left(1 + \frac{\Theta_S}{mr^2} \right) \Leftrightarrow v^2 = \frac{2gs \cdot sin(\beta)}{1 + \frac{\Theta_S}{mr^2}}\)

6.1. Vollzylinder auf schiefer Ebene

Trägheitsmoment eines Zylinders ist \(\Theta_{Vollzylinder} = \frac{1}{2} m r^2 \)

Ohne Reibung gilt \(E_{kin} + E_{pot} = \text{konst.} \Rightarrow \Delta E_{kin} = \Delta E_{pot}\)

\(\Delta E_{pot} = m g \Delta h = mgs\cdot sin(\beta)\)

\(\Delta E_{kin} = E_{Trans} + E_{Rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \Theta_{Vollzylinder} \frac{v^2}{r^2}\)

\(mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2}\frac{1}{2}m r^2 \frac{v^2}{r^2} \Leftrightarrow mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{m}{4} v^2 = \frac{3m}{4} v^2 \Leftrightarrow v^2 = \frac{4}{3}gs\cdot sin (\beta) \)

6.2. Zylindermantel auf schiefer Ebene

\(\Theta_{Zylindermantel} = m r^2 \)

Ohne Reibung gilt \(E_{kin} + E_{pot} = \text{konst.} \Rightarrow \Delta E_{kin} = \Delta E_{pot}\)

\(\Delta E_{pot} = m g \Delta h = mgs\cdot sin(\beta)\)

\(\Delta E_{kin} = E_{Trans} + E_{Rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \Theta_{Hohlzylinder} \frac{v^2}{r^2}\)

\(\Leftrightarrow mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2}m r^2 \frac{v^2}{r^2} \Leftrightarrow mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{m}{2} v^2 = m v^2 \Leftrightarrow v^2 = gs\cdot sin (\beta) \)

6.3. Kugel auf schiefer Ebene

Trägheitsmoment einer Kugel ist \(\Theta_{Kugel} = \frac{2}{5} m r^2 \)

Ohne Reibung gilt \(E_{kin} + E_{pot} = \text{konst.} \Rightarrow \Delta E_{kin} = \Delta E_{pot}\)

\(\Delta E_{pot} = m g \Delta h = mgs\cdot sin(\beta)\)

\(\Delta E_{kin} = E_{Trans} + E_{Rot} = \frac{1}{2} m v^2 + \frac{1}{2} \Theta_{Kugel} \frac{v^2}{r^2}\)

\(mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{2} \frac{2}{5} m r^2 \frac{v^2}{r^2} \Leftrightarrow mgs \cdot sin (\beta) = \frac{m}{2} v^2 + \frac{1}{5} m r^2= \frac{7}{10} m v^2 \Leftrightarrow v^2 = \frac{10}{7} gs\cdot sin (\beta) \)

6.4. Vergleich

Vollzylinder auf schiefer Ebene	Zylindermantel auf schiefer Ebene	Kugel auf schiefer Ebene
\(\Theta_{Vollzylinder} = \frac{1}{2} m r^2 \)	\(\Theta_{Zylindermantel} = m r^2 \)	\(\Theta_{Kugel} = \frac{2}{5} m r^2 \)
\(v^2 = \frac{4}{3}gs\cdot sin (\beta)\)	\(v^2 = gs\cdot sin (\beta) \)	\(v^2 = \frac{10}{7} gs\cdot sin (\beta) \)

Theoretisches Modell:

Bei Vernachlässigung der Reibung, wäre ein rutschender Körper am schnellsten, da hier die gesamte Energie in die Translationsbewegung geht

\(\Rightarrow v^2 = 2gs \cdot sin(\beta)\)